所有产品

明陞m88如何理解矩阵的 线性相关和无关啊 ?

  可选中1个或多个下面的关键词,搜索相关资料。也可直接点“搜索资料”搜索整个问题。明陞m88

  有个刻画线性相关的定理: 向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示。

  所以可以这样理解: 线性相关的向量组中有多余的向量, 多余是指它可由其余向量表示

  2013-10-21展开全部对向量组 ,如果存在一组不全为零的数 , 使得

  那么, 称向量组 线性相关. 如果这样的 个数不存在, 即上述向量等式仅当 时才能成立, 就称向量组 线性无关.

  只有一个向量 组成的向量组线性无关的充分必要条件是 , 线性相关的充分必要条件是 .

  由此可见, 向量组 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 有非零解. 也就是说, 向量组 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 只有零解.

  解此方程组得 , 所以向量组 线 设向量组 线性无关, 又设 , 证明向量组 也线性无关.

  此线性方程组只有零解 , 也即向量组 线 向量组 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余 个向量线性表示 .

  证明: 必要性 设 线性相关, 即存在一组不全为零的数 , 使得 . 不妨设 , 则有

  即 可以由其余 个向量 线性表示. 其实, 在向量等式 中, 任何一个系数 的向量 都可以由其余 个向量线性表示 .

  矩阵 的列向量组为 ,其中矩阵 是通过对矩阵 做行初等变换后得到的.我们有以下定理:

  证明 :记 .那么,当且仅当齐次线性方程组 有非零解时向量组 线性相关.当且仅当齐次线性方程组 有非零解时向量组 线性相关.由于齐次线性方程组 或者只是对调了 的第 个方程与第 个方程的位置,或者只是用非零数 承 的第 个方程,或者只是把 的第 个方程的 倍加到第 个方程上去,这连个方程组一定是同解的,所以,对应的向量组 有相同的线 如果向量组 线性相关,那么 也线性相关.

  但是 , 仍不全为零,因此,向量组 线 线性无关向量组的任意一个非空部分组仍是线性无关向量组.

  如果向量组 线性无关,那么,向量组 也线 维向量组的每一个向量添加 个分量成为 维向量.如果 维向量组线性无关,那么, 维向量组也线性无关.反言之,如果 维向量组线性相关,那么, 维向量组也线 在 型的矩阵 中,任取 行 列 ,位于这些行列交叉处的 个元素,不改变它们在 中所处的位置次序而得的 阶矩阵行列式,称为矩阵 的 阶子式.

  推论 9.8 个 维向量组线性无关的充分必要条件是它们所构成的 阶矩阵的行列式不等于零.