明陞m88证明 实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是

发布时间:2020-04-27 17:52

  1.高等代数上有个定理:对于任意一个n级实对称矩阵A都存在一个n级正交矩 阵T,使TAT成对角型,而对角线上的元素就是它的特征根。由此,开证,

  (1)充分性:当对称矩阵A的特征根都为正数时,对角型矩阵TAT对角线上的元素均为正数,所以TAT为正定矩阵,又T为正交阵,所以A是正定阵。

  (2)必要性:由于对称矩阵A是正定矩阵,所以存在一个正交矩阵T,使TAT成对角型的对角线上的元素均为正值,而对角线上的元素又为A的所有特征值,即A的特征值均为正数。